Suites - Complémentaire

La suite \((u_n)\) est définie, pour tout entier naturel \(n\), par : \(\left\{ \begin{array}{ll} u_0 = 3 \\ u_{n+1} = 8u_n + 8 \end{array} \right.\)
À partir de quel rang \(n\), a-t-on \(u_n \geq 100000 \) ?

La suite \((u_n)\) est définie, pour tout entier naturel \(n\), par : \(\left\{ \begin{array}{ll} u_0 = 8 \\ u_{n+1} = 1,5u_n + 8 \end{array} \right.\)
À partir de quel rang \(n\), a-t-on \(u_n \geq 1000 \) ?
On pourra se servir d'une calculatrice pour calculer les valeurs de \((u_n)\).

Soit la suite \[\left(u_n\right) : u_n = \frac{3}{7\sqrt{n + 5}}\] À partir de quel rang n, a-t-on \(0 \lt u_n \leq 10^{-3} \) ?

Soit la suite : \[\left(u_n\right): u_n = 5n^{2}\]À partir de quel rang n, a-t-on \(u_n \geq 100 \) ?

Consommation d'antibiotiques

En l'an 2000, les ventes d'antibiotiques s'élevaient en France à 195 millions de boîtes. La consommation abusive d’antibiotiques s'est traduite par un développement des résistances bactériennes. Cette question préoccupe encore aujourd’hui les autorités sanitaires. En France, un plan national a été engagé en 2001 sur le thème «les antibiotiques, c'est pas automatique».
On a constaté que, de 2000 à 2015, la vente de boîtes d’antibiotiques en France a baissé chaque année de 5%. On suppose, dans cet exercice, que la baisse de 5% par an va se poursuivre jusqu’en 2100. On étudie ce modèle.

Le nombre de boîtes d’antibiotiques vendues sera exprimé en millions de boîtes, arrondi si nécessaire, à \( 10^{-3} \).
On modélise le nombre de boîtes d'antibiotiques vendues en France à l’aide d’une suite numérique \( (u_n) \).
On note \( u_0 \), le nombre (en millions) de boîtes d'antibiotiques vendues en France en l'an 2000.
Étant donné un entier naturel \( n \), on note \( u_n \) une estimation, dans le modèle choisi, du nombre (en millions) de boîtes d'antibiotiques vendues en France pendant l'année 2000 + \( n \).
On a donc \( u_0 = 195 \).

À combien de millions peut-on estimer le nombre de boîtes d'antibiotiques vendues en 2001 selon le modèle choisi ?
On donnera un résultat arrondi à \( 10^{-3} \).

Quelle est la nature de la suite \( (u_n) \) ?

Déterminer sa raison.

Exprimer \( u_n \) en fonction de \( n \), pour tout entier naturel \( n \).

Résoudre l'inéquation : \[ 195 \times 0,95^{x} \leq 108 \]
On donnera la réponse exacte sous la forme \( x \leq ... \) ou \( x \geq ... \) et en utilisant, si nécessaire, le logarithme népérien.

En utilisant le modèle choisi, déterminer à partir de quelle année le nombre de boîtes d'antibiotiques vendues sera inférieur à 108 millions.